Raices cuadradas.

En las matemáticas, la raíz cuadrada de un número es aquel número que al ser multiplicado por sí mismo da como resultado el valor , es decir, cumple la ecuación .

Se corresponde con la radicación de índice 2 o, equivalentemente, con la potenciación de exponente 1/2. Cualquier número real no negativo {\displaystyle x} tiene una única raíz cuadrada positiva o raíz cuadrada principal2​ y denotada como {\displaystyle {\sqrt {x}}} donde {\displaystyle {\sqrt {\;}}} es el símbolo raíz y {\displaystyle x} es el radicando. Cuando se requiere denotar dos raíces cuadradas una negativa, {\displaystyle -{\sqrt {x}}}, y otra positiva, {\displaystyle {\sqrt {x}}}, suelen denotarse cuidadosamente como {\displaystyle \pm {\sqrt {x}}} o bien como {\displaystyle \mp {\sqrt {x}}} según el orden necesitado.

El concepto puede extenderse a cualquier anillo algebraico, así es posible definir la raíz cuadrada de un número real negativo o la raíz cuadrada de algunas matrices. En los números cuaterniónicos, los números reales negativos admiten un número infinito de raíces cuadradas, sin embargo el resto de cuaterniones diferentes de cero admiten solo dos raíces cuadradas. En el anillo no conmutativo de las funciones reales de variable real con la adición y la composición de funciones si fºf = g, se puede plantear que f es la "raíz cuadrada" de g.

Las raíces cuadradas son expresiones matemáticas que surgieron al plantear diversos problemas geométricos como la longitud de la diagonal de un cuadrado. El Papiro de Ahmes datado hacia 1650 a. C., que copia textos más antiguos, muestra cómo los egipcios extraían raíces cuadradas.4​

En la antigua India, el conocimiento de aspectos teóricos y aplicados del cuadrado y la raíz cuadrada fue, al menos, tan antiguo como los Sulba Sutras, fechados entre el 500 y el 300 a. C. Un método para encontrar muy buenas aproximaciones a las raíces cuadradas de 2 y 3 es dado en el Baudhayana Sulba Sutra.5​Aryabhata (476-550) en su tratado Aryabhatiya (sección 2.4), dio un método para encontrar la raíz cuadrada de números con varios dígitos.

Los babilonios aproximaban raíces cuadradas haciendo cálculos mediante la media aritmética reiteradamente. En términos modernos, se trata de construir una sucesión {\displaystyle a_{0},a_{1},a_{2},a_{3},\dots } dada por:6​

{\displaystyle a_{n+1}={\frac {1}{2}}\left(a_{n}+{\frac {a}{a_{n}}}\right).}

Puede demostrarse que esta sucesión matemática converge de manera que {\displaystyle a_{n}\to {\sqrt {a}}} (como valor inicial {\displaystyle a_{0}} puede tomarse con buena aproximación el entero más cercano al valor de la raíz cuadrada). Las raíces cuadradas fueron uno de los primeros desarrollos de las matemáticas, siendo particularmente investigadas durante el periodo pitagórico, cuando el descubrimiento de que la raíz cuadrada de 2 era irracional (inconmensurable) o no expresable como cociente alguno, lo que supuso un hito en la matemática de la época.

Inicialmente se demostró la utilidad de la raíz cuadrada para la resolución de problemas trigonométricos y geométricos, como el cálculo de la longitud de la diagonal de un cuadrado o el teorema de Pitágoras. Posteriormente ganó utilidad para operar con polinomios y resolver ecuaciones de segundo grado o superior, y son en la actualidad una de las herramientas matemáticas más elementales.

David Eugene Smith, en History of Mathematics, dice acerca de la situación existente:

"En Europa esos métodos (para encontrar el cuadrado y la raíz cuadrada) no aparecieron antes de Cataneo (1546). Él dio el método de Ariabhata para determinar la raíz cuadrada".7​

Pietro Antonio Cataldi calculó en 1613 la raíz cuadrada aproximando por fracciones continuas, como aparece en la obra común Historia de la matemática de Julio Rey Pastor y José Babini.

Posteriormente, se fue ampliando la definición de raíz cuadrada. Varios matemáticos vieron la necesidad de idear números que representasen la raíz cuadrada de números reales negativos para poder resolver todas las ecuaciones de segundo grado, pero no fue sino hasta 1777 cuando el matemático suizo Leonhard Euler simbolizó la raíz cuadrada de –1 con la letra i. La generalización de la función raíz cuadrada de los números negativos da lugar al concepto de los números imaginarios y al cuerpo de los números complejos, algo necesario para que cualquier polinomio tenga todas sus raíces (teorema fundamental del álgebra).8​ La diagonalización de matrices también permite el cálculo rápido de la raíz de una matriz.

Símbolo de la raíz cuadrada {\displaystyle ({\sqrt {\ }})}

En occidente a principios del siglo XIII Juan Hispalense, integrante de la incipiente escuela de traductores de Toledo, tradujo al latín y español obras de astrónomos y matemáticos árabes: Albumasar, Al-Kindi, Al-Battani y Thábit ibn Qurra incorporando el signo " ? " como símbolo para la utilización de la raíz. También utilizará " ? " Leonardo de Pisa en su obra "Practica Geometriae".

El actual símbolo de la raíz cuadrada {\displaystyle ({\sqrt {\ }})} fue introducido en 1525 por el matemático Christoph Rudolff para representar esta operación,9​10​ que aparece en su libro Coss, el primer tratado de álgebra escrito en alemán vulgar. El signo no es más que una forma estilizada de la letra r minúscula para hacerla más elegante[cita requerida], alargándola con un trazo horizontal, hasta adoptar el aspecto actual, que representa la palabra latina radix, que significa raíz.

Función raíz cuadrada

La gráfica de la función {\displaystyle f(x)={\sqrt {x}}} es una semiparábola con directriz vertical.

La raíz cuadrada permite definir una función real cuyo dominio e imagen es el conjunto {\displaystyle \left[0,\infty \right)} (el conjunto de todos los números reales no negativos). Para cada número real x esta función se define como el único número no negativo y que elevado al cuadrado es igual a x. Consiste en hallar el número del que se conoce su cuadrado. La función raíz cuadrada de x se expresa de la siguiente manera:

{\displaystyle f(x)={\sqrt {x}}}

Usualmente la raíz cuadrada de un número entero no es un número racional a menos que el número entero sea un cuadrado perfecto, como por ejemplo:

{\displaystyle {\sqrt {16}}=4,\quad {\sqrt {64}}=8,\quad {\sqrt {144}}=12}

ya que:

{\displaystyle 16=4\times 4=4^{2},\quad 64=8\times 8=8^{2},\quad 144=12\times 12=12^{2}}

La función raíz cuadrada, en general, transforma números racionales en números algebraicos; {\displaystyle {\sqrt {x}}} es racional si y sólo si x es un número racional que puede escribirse como fracción de dos cuadrados perfectos. Si el denominador es {\displaystyle 1^{2}=1\,}, entonces se trata de un número natural. Sin embargo, {\displaystyle {\sqrt {2}}} es irracional.

El descubrimiento de que la raíz cuadrada de muchos números era un número irracional se atribuye a los pitagóricos. Los babilonios y egipcios ya disponían de medios de estimar numéricamente la raíz cuadrada, pero su interés parece haber sido eminentemente práctico, por lo que no parecen existir referencias sobre la naturaleza de la raíz cuadrada y el problema de si esta podía ser expresada como cociente de dos números enteros.

La interpretación geométrica es que la función raíz cuadrada transforma la superficie de un cuadrado en la longitud de su lado.

Propiedades generales

Gráfica de la ecuación: {\displaystyle y^{2}=x} o también {\displaystyle y=\pm {\sqrt {x}}} (como función multivaluada).

Las siguientes propiedades de la raíz cuadrada son válidas para todos los números reales no negativos x, y:{\displaystyle {\sqrt {xy}}={\sqrt {x}}{\sqrt {y}}\qquad {\sqrt {\frac {x}{y}}}={\frac {\sqrt {x}}{\sqrt {y}}}}

Con notación exponencial:{\displaystyle {\sqrt {x}}=x^{\frac {1}{2}}.}

y también la equivalencia:

mostrar{\displaystyle {\sqrt {x^{2}}}=\left|x\right|={\begin{cases}x,&{\text{si }}x\geq 0\\-x,&{\text{si }}x<0\end{cases}}} donde {\displaystyle x} es un número real.

La función {\displaystyle {\sqrt {x}}} es continua para todos los números no negativos {\displaystyle x} y derivable para todos los números positivos {\displaystyle x} (no es derivable para {\displaystyle x=0} ya que la pendiente de la tangente ahí es infinita). Su derivada está dada por:{\displaystyle f'(x)={\frac {1}{2{\sqrt {x}}}}}

La serie de Taylor de {\displaystyle {\sqrt {x+1}}} en torno a x = 0 y convergente para |x| ≤ 1 se puede encontrar usando el teorema del binomio:{\displaystyle {\sqrt {x+1}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\binom {1/2}{n}}\,x^{n}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(2n)!}{(1-2n)(n!)^{2}(4^{n})}}x^{n}=1+{\frac {1}{2}}x-{\frac {1}{8}}x^{2}+{\frac {1}{16}}x^{3}-{\frac {5}{128}}x^{4}+\dots }

En cálculo, cuando se prueba que la función raíz cuadrada es continua o derivable, o cuando se calculan ciertos límites, es muy útil el multiplicar y dividir por el número conjugado:{\displaystyle {\sqrt {x}}-{\sqrt {y}}={\frac {x-y}{{\sqrt {x}}+{\sqrt {y}}}}}

y es válida para todos los números no negativos x e y que no sean ambos cero.