Raíces cuadradas en los cuaterniones

Raíces cuadradas en los cuaterniones

Con los números complejos está asegurado que solo existe un número finito de raíces enésimas de la unidad. Así por ejemplo -1 tiene solo dos raíces complejas i e −i. Sin embargo, en los números cuaterniónicos {\displaystyle \scriptstyle \mathbb {H} } hay un número infinito de raíces cuadradas de -1: de hecho el conjunto de soluciones forma una esfera en el espacio tridimensional. Para ver esto, sea q = a + bi + cj + dk un cuaternión, y supóngase que su cuadrado es −1. En términos de a, b, c y d esa asunción implica que

{\displaystyle a^{2}-(b^{2}+c^{2}+d^{2})=-1,}{\displaystyle 2ab=0,}{\displaystyle 2ac=0,}{\displaystyle 2ad=0.}

Este conjunto de ecuaciones reales tiene infinitas soluciones. Para satisfacer las últimas tres ecuaciones debe tenerse que a = 0 o bien b = c = d = 0, sin embargo, esta última posibilidad no puede darse ya que al ser a un número real la primera ecuación implicaría que a2 = −1, pero eso es imposible para un número real. Por tanto a = 0 y b2 + c2 + d2 = 1. En otras palabras. Nótese que solo un cuaternión que sea igual a un número real negativo puede tener un número infinito de raíces cuadradas. Todos los demás tienen solo dos raíces (o en el caso del 0 una única raíz). Dado un número cuaterniónico {\displaystyle a_{0}+a_{1}i+a_{2}j+a_{3}k} (que no sea un real negativo) sus dos raíces cuaterniónicas son:

{\displaystyle \pm b_{0}+{\frac {a_{1}i+a_{2}j+a_{3}k}{2b_{0}}},\qquad b_{0}={\frac {\sqrt {2}}{2}}{\sqrt {a_{0}+{\sqrt {a_{0}^{2}+a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}}}}}}

Lo anterior implica que la ecuación:

{\displaystyle z_{q}^{2n}=1,\qquad z_{q}\in \mathbb {H} ,n\in \mathbb {N} .}

tiene infinitas soluciones, situadas sobre la esfera unidad.

Raíz cuadrada de matrices

Artículo principal: Raíz cuadrada de una matriz

La existencia de un producto de matrices permite definir la raíz cuadrada de una matriz como aquella matriz B que multiplicada por sí misma da la original A, es decir, B2=A luego B=√A.

Raíz cuadrada en cuerpo finito

Primero definamos los cuadrados, por ejemplo en F[7] el conjunto de los restos enteros módulo 7, {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}. El signo = significa congruencia.18​ No todos los números de F[7] tienen.

12 = 1; 22 = 4; 32 = 2; 42 = 2; 52 = 4; 62= 1; 02 = 0.

Diremos que a es la raíz cuadrada de b si a2 = b; se denota {\displaystyle a={\sqrt {b}}}.

de la lista anterior se ve que

{\displaystyle {\sqrt {1}}=1};

{\displaystyle {\sqrt {1}}=6}

{\displaystyle {\sqrt {2}}=3};

{\displaystyle {\sqrt {2}}=4};

{\displaystyle {\sqrt {4}}=2};

{\displaystyle {\sqrt {4}}=5};

Cálculo de raíces cuadradas

Artículo principal: Cálculo de la raíz cuadrada

Hoy en día existen muchos métodos para calcular la raíz cuadrada, habiendo algunos aptos para el cálculo manual y otros mejor adaptados al cálculo automático.

Algoritmo

Cuando vamos a realizar la raíz cuadrada con su método de resolución usual podemos ver las partes en las que se divide, aunque las esenciales de ésta no tienen por qué aparecer o ser usadas solamente en la operación para ser calculada la raíz cuadrada. Según esta imagen, podemos ver que las partes de las que se compone; son:

Radical: es el símbolo que indica que es una raíz cuadrada.

Radicando o cantidad subradical: es el número del que se obtiene la raíz cuadrada.

Raíz: es propiamente la raíz cuadrada del radicando.

Renglones auxiliares: nos ayudarán a resolver la raíz cuadrada.

Resto: es el número final del proceso para resolver la raíz cuadrada.

Utilizando logaritmos

Se simplifica el cálculo utilizando logaritmos y sus propiedades empleando las tablas de logaritmos o reglas de cálculo.{\displaystyle \!\,{\sqrt[{2}]{x}}=\operatorname {antilog} {\frac {\log(x)}{2}}\,}

Algoritmos para máquinas

Calculadoras, hojas de cálculo y otros softwares también se usan con frecuencia para calcular raíces cuadradas. Los programas de software ponen típicamente buenas rutinas en su ejecución para computar la función exponencial y el logaritmo natural o logaritmo, computándose después la raíz cuadrada de x usando la identidad:{\displaystyle {\sqrt {x}}=e^{{\frac {1}{2}}\ln x}} o {\displaystyle {\sqrt {x}}=10^{{\frac {1}{2}}\log x}}

Construcción geométrica de la raíz cuadrada

La raíz cuadrada de un número real se puede construir con regla y compás. En sus Elementos, Euclides (300 AC) dio la construcción de la media geométrica de dos cantidades en sus proposiciones II.14 y VI.13. Dado que la media geométrica de {\displaystyle a} y {\displaystyle b} es {\displaystyle {\sqrt {ab}}}, uno puede construir {\displaystyle {\sqrt {a}}} simplemente tomando {\displaystyle b=1}.

La construcción también fue dada por Descartes en su libro La Géométrie, vea la figura 2 en la segunda página.

Otro método de construcción geométrica (para las raíces de números naturales) usa triángulos rectángulos e inducción: {\displaystyle {\sqrt {1}}=1} puede, desde luego, ser construido, y una vez que {\displaystyle {\sqrt {x}}} ha sido construido, el triángulo con 1 y {\displaystyle {\sqrt {x}}} como catetos, tiene una hipotenusa de {\displaystyle {\sqrt {x+1}}}.

Pasos a seguir para la construcción geométrica

AO = 1, OB = a, OH = x

Para "calcular" geométricamente la raíz cuadrada de un número real dado, lo que se hace es una construcción, mediante regla y compás, de un segmento que mida la raíz cuadrada de la longitud de un segmento original que tenga por longitud ese valor real dado.

Los pasos a seguir son los siguientes:

Trazamos un segmento {\displaystyle OB\,\!} de longitud {\displaystyle a\,\!}, es decir, de longitud igual al número del cual queremos calcular su raíz cuadrada.

Extendemos el segmento {\displaystyle OB\,\!} en una unidad (según la longitud que hayamos tomado como unidad) de modo que tengamos el segmento {\displaystyle AB\,\!} de longitud {\displaystyle a+1\,\!}.

Trazamos un círculo que tenga como diámetro el segmento {\displaystyle AB\!}.

En el punto {\displaystyle O\,\!} (que es donde empieza la extensión de longitud 1) trazamos una línea perpendicular a {\displaystyle AB\!}. Esta línea corta a la circunferencia en dos puntos. Sea {\displaystyle H\,\!} cualquiera de esos puntos. Entonces, resulta que el segmento {\displaystyle OH\,\!} tiene una longitud: {\displaystyle OH={\sqrt {a}}}.

Esta construcción tiene su importancia en el estudio de los números constructibles.

Demostración de que OH es igual a la raíz cuadrada de OB

Para demostrar esta igualdad, demostraremos que los triángulos {\displaystyle AOH\,\!} y {\displaystyle HOB\,\!} son triángulos semejantes:

El ángulo {\displaystyle H\,\!} es un ángulo recto (de 90º) ya que {\displaystyle AB\,\!} es la diagonal de un arco capaz.

El segmento {\displaystyle OH\,\!} es perpendicular, por construcción, al segmento {\displaystyle AB\,\!}. O sea que los dos ángulos con vértice en {\displaystyle O\,\!}, {\displaystyle BOH\,\!} (el derecho en el diagrama) como {\displaystyle HOA\,\!} (el izquierdo en el diagrama) son ángulos rectos.

La suma de todos los ángulos de un triángulo es igual a 180º.

Ahora teniendo en cuenta todo esto construimos el siguiente sistema de ecuaciones:

{\displaystyle 180=90+B+(90-H_{i})\,\!}

{\displaystyle 180=90+A+H_{i}\,\!}

Donde {\displaystyle H_{i}\,\!} es el ángulo superior del triángulo izquierdo del cual desconocemos su abertura, las otras letras representan los otros ángulos que desconocemos y el ángulo {\displaystyle H_{d}\,\!} se puede representar como la resta de {\displaystyle 90-H_{i}\,\!} ya que 90º es el valor de {\displaystyle H\,\!} entero. Al resolver la primera ecuación vemos que:{\displaystyle 180=90+B+90-H_{i}\,\!};{\displaystyle H_{i}=B\,\!}.

Con lo que ya demostramos que estos ángulos miden lo mismo y al resolver el segundo:{\displaystyle 90=A+H_{i}\,\!};{\displaystyle A=90-H_{i}\,\!}.

Con lo que al ser {\displaystyle 90-H_{i}=H_{d}\,\!} se saca que {\displaystyle A=H_{d}\,\!} y con esto queda demostrado que al medir todos los ángulos lo mismo son triángulos semejantes de manera {\displaystyle AH_{i}O_{i}\,\!} ~ {\displaystyle H_{d}BO_{d}\,\!}. Al poseer esta semejante los lados de los triángulos tienen una proporcionalidad igual para los tres lados tal que:{\displaystyle {\frac {OH}{1}}={\frac {OB}{OH}}={\frac {HB}{AH}}}

Recordando que al construir geométricamente la raíz {\displaystyle AO\,\!} siempre valía 1, con lo que cogiendo lo que nos interesa desarrollamos:{\displaystyle {\frac {OH}{1}}={\frac {OB}{OH}}};{\displaystyle OB=OH^{2}\,\!};{\displaystyle OH={\sqrt {OB}}}.

Quedando demostrada.

Raíces cuadradas útiles

Artículo principal: Anexo:Raíces cuadradas

Raíz cuadrada de 2.

Raíz cuadrada de 2

Artículo principal: Raíz cuadrada de 2{\displaystyle 1^{2}+1^{2}=x^{2}\,\!}{\displaystyle x={\sqrt {2}}}

Probablemente, la raíz cuadrada de 2 fue el primer número irracional descubierto, cuyo descubrimiento le costó la vida a un correligionario de Pitágoras. El valor de este número con 10 cifras decimales por truncamiento es 1,4142135623. Aparece como seno y coseno de un ángulo de 45 grados sexagesimales. Hay varias fórmulas de recurrencia para hallar su valor aproximado. Una de ellas es el conocido método de la tangente de Newton. Su irracionalidad ya lo habían demostrado los griegos. Sin embargo, su fundamentación se le debe a los matemáticos alemanes Richard Dedekind y Georg Cantor en el siglo XX. Por supuesto, no viene a ser sino un límite igual que el de los números irracionales {\displaystyle e} y {\displaystyle \pi } porque nadie puede escribir sus infinitas cifras; pero basta con menos de 10 dígitos decimales para lo que hace la ciencia y tecnología.

Raíz cuadrada de 3

Artículo principal: Raíz cuadrada de 3

Mide raíz cuadrada de 3, la diagonal de un cubo cuyas aristas miden 1.

La raíz cuadrada de 3: {\displaystyle {\sqrt {3}}}, también conocida como constante de Teodoro (por Teodoro de Cirene), es geométricamente el valor de la diagonal de un cubo cuyas aristas miden la unidad, pudiéndose demostrar con el teorema de Pitágoras. También es la hipotenusa de un triángulo rectángulo construible cuyos catetos miden raíz cuadrada de 2 y la unidad respectivamente.

El valor de este número con 10 cifras decimales por truncamiento es 1,7320508075

Raíz cuadrada de 5

Artículo principal: Raíz cuadrada de 5

La raíz cuadrada de 5: {\displaystyle {\sqrt {5}}}, aparece en la fórmula del número áureo, y es geométricamente la hipotenusa de un triángulo cuyos catetos miden 1 y 2 respectivamente, comprobándose mediante el teorema de Pitágoras. Su valor con 10 cifras decimales por truncamiento es 2,2360679774.

Usos y casos

La raíz cuadrada se usa para calcular la hipotenusa de un triángulo rectángulo, conociendo los catetos. O uno de estos conociendo la hipotenusa y el otro cateto.

Para hallar el radio de un círculo conociendo su área.

En la detección de si un número entero positivo es primo; basta considerar como divisores primos, aquellos números primos que son menores que su raíz cuadrada, aproximada a unidades.

Para hallar el tiempo en el movimiento uniforme acelerado sin velocidad inicial.

Para conocer cuántos números impares iniciales, empezando desde el 1, se han sumado; usando como dato un cuadrado perfecto.

En una función cuadrática canónica, conociendo la ordenada, hallar las correspondientes abscisas.

Para calcular la diagonal de un cuadrado conociendo su área.

Para calcular la media cuadrática de datos positivos. 19​

Al calcular él área de un triángulo equilátero, donde interviene {\displaystyle {\sqrt {3}}}

Al obtener el área de un tetraedro regular, en función de su arista, se emplea {\displaystyle {\sqrt {3}}} 20​

Al obtener el volumen de un tetraedro regular, en función de su arista, se usa {\displaystyle {\sqrt {2}}}

Para hallar la media proporcional c entre a y b. La altura de un triángulo conociendo las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa. La tangente a una circunferencia, conociendo la secante y su parte externa.

La {\displaystyle {\sqrt {3}}} se usa en ciertas razones trigonométricas de un ángulo de 30º o 60º.

La {\displaystyle {\sqrt {2}}} se emplea para definir el seno y coseno de un ángulo de 45º.21​

Al resolver una ecuación de segundo grado completa o de la forma x2 = a, se usa la raíz cuadrada; en el primer caso si el determinante es negativo, y en la ecuación incompleta de segundo grado si a es menor que cero, hay que hallar la raíz cuadrada de un número negativo, que proporciona como raíces, dos números complejos conjugados. En el caso de que se tenga una ecuación de segundo grado con coeficientes complejos no reales, también se halla la raíz cuadrada, pero las raíces de la ecuación cuadrática, en este caso , no necesariamente, son conjugadas. 22​

En el caso de resolver la ecuación cúbica reducida y3 + py + q = 0, mediante la llamada fórmula de Cardano, necesariamente hay que hallar la raíz cuadrada de p3/27 + q2/4 = H; luego efectuar las raíces cúbicas de -q/2 + H y de -q/2 -H. 

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