Permutaciones:

En matemáticas, una permutación es la variación del orden o posición de los elementos de un conjunto ordenado o una tupla.La definición intuitiva de permutación, como un ordenamiento de los elementos de un conjunto se formaliza con el uso del lenguaje de funciones matemáticas.

Una permutación de un conjunto X es una función biyectiva de dicho conjunto en sí mismo.

Ejemplos:

1. En el caso de un elementos {1} solo hay una posible permutación: {\displaystyle (1)}.{\displaystyle {\begin{matrix}A&\xrightarrow {Identidad} &A\\1&\longmapsto &1\\\end{matrix}}}

2. En el caso de dos elementos {1,2} solo hay dos posibles permutaciones (ordenamientos o posiciones de cada elemento): {\displaystyle (1,\,2)} y {\displaystyle (2,\,1)}.{\displaystyle {\begin{matrix}A&\xrightarrow {Identidad} &A\\1&\longmapsto &1\\2&\longmapsto &2\\\end{matrix}}}{\displaystyle {\begin{matrix}A&\xrightarrow {(2,\,1)} &A\\1&\longmapsto &2\\2&\longmapsto &1\\\end{matrix}}}

3. En el caso de tres elementos {1, 2, 3} cada permutación diferente sobre el conjunto {1, 2, 3} equivale a una forma de ordenar los elementos.{\displaystyle {\begin{matrix}A&\xrightarrow {Identidad} &A\\1&\longmapsto &1\\2&\longmapsto &2\\3&\longmapsto &3\\\end{matrix}}}, {\displaystyle {\begin{matrix}A&\xrightarrow {(2,\,1,\,3)} &A\\1&\longmapsto &2\\2&\longmapsto &1\\3&\longmapsto &3\\\end{matrix}}}, {\displaystyle {\begin{matrix}A&\xrightarrow {(3,\,2,\,1)} &A\\1&\longmapsto &3\\2&\longmapsto &2\\3&\longmapsto &1\\\end{matrix}}}, {\displaystyle {\begin{matrix}A&\xrightarrow {(1,\,3,\,2)} &A\\1&\longmapsto &1\\2&\longmapsto &3\\3&\longmapsto &2\\\end{matrix}}}, {\displaystyle {\begin{matrix}A&\xrightarrow {(2,\,3,\,1)} &A\\1&\longmapsto &2\\2&\longmapsto &3\\3&\longmapsto &1\\\end{matrix}}}, {\displaystyle {\begin{matrix}A&\xrightarrow {(3,\,1,\,2)} &A\\1&\longmapsto &3\\2&\longmapsto &1\\3&\longmapsto &2\\\end{matrix}}}

En la definición de permutación, no se establece condición alguna sobre X, el cual puede incluso ser infinito. Sin embargo, es común considerar únicamente el caso en que X es un conjunto finito al estudiar permutaciones.

La combinatoria trata del número de diferentes maneras que existen de considerar conjuntos formados a partir de elementos de un conjunto dado, respetando ciertas reglas, como el tamaño, el orden, la repetición, la partición. Así un problema combinatorio consiste usualmente en establecer una regla sobre cómo deben ser las agrupaciones y determinar cuántas existen que cumplan dicha regla. Básicamente, tres asuntos: permutaciones, combinaciones y variaciones.

Un tipo importante de esas agrupaciones son las llamadas permutaciones. Dada una n-tupla ordenada de los elementos de un conjunto, el número de permutaciones es el número de n-tuplas ordenadas posibles.

Fórmula del número de permutaciones

Dado un conjunto finito {\displaystyle A\,\!} de {\displaystyle n\,\!} elementos, el número de todas sus permutaciones es igual a factorial de n:

{\displaystyle n!=n(n-1)(n-2)\cdots 1\,\!}.

Demostración: Dado que hay {\displaystyle n\,\!} formas de escoger el primer elemento y, una vez escogido este, solo tenemos {\displaystyle (n-1)\,\!} formas de escoger el segundo elemento, y así sucesivamente, vemos que cuando llegamos al elemento k-ésimo solo tenemos {\displaystyle [n-(k-1)]\,\!} posibles elementos para escoger, lo que nos lleva a que tenemos {\displaystyle n(n-1)(n-2)\cdots 2\cdot 1\,\!} formas de ordenar el conjunto, justamente lo que enunciamos anteriormente.

Ejemplo: sea el conjunto A={1,2,3} en este caso hay 6 permutaciones, en forma compacta: 123, 132, 213, 231, 312, 321. En álgebra, para estudiar los grupos simétricos se presentan entre paréntesis y en dos filas, en la primera siempre aparece 1 2 3.

Otro ejemplo de lo mismo: si se va a formar un comité que involucra presidente, tesorero y secretario, habiendo tres candidatos a, b, c ; cuando se elige por sorteo los cargos sucesivamente, hay seis posibilidades u ordenaciones: abc, acb, bac, bca, cab, cba.

En teoría de grupos

Notaciones

Representación gráfica de la permutación {\displaystyle \sigma } que revela su estructura compuesta por 2 ciclos de longitud 4.

La primera forma de escribir una permutación {\displaystyle \sigma }, aunque no es la más compacta, consiste en escribirla en forma de matriz de dos filas, situando en la primera los elementos ordenados del dominio 1, 2, 3,...,n, y en la segunda fila las imágenes correspondientes a los elementos reordenados {\displaystyle \sigma (1),\,\sigma (2),\,\sigma (3),\,\dots ,\,\sigma (n).}

Por ejemplo, dado el conjunto ordenado {\displaystyle \{1,...,8\}} podemos expresar una permutación {\displaystyle \sigma } sobre éste mediante una matriz de correspondencias:{\displaystyle \sigma ={\begin{pmatrix}1&2&3&4&5&6&7&8\\3&4&5&7&6&1&8&2\end{pmatrix}}}

Por ser biyectiva por definición, podemos encontrar una aplicación inversa {\displaystyle \sigma ^{-1}} de forma que su composición genera la aplicación identidad. Para ello, en primer lugar intercambiamos las filas y finalmente reordenamos las columnas de modo que los elementos del dominio queden ordenados de forma natural:{\displaystyle \sigma ^{-1}} {\displaystyle ={\begin{pmatrix}3&4&5&7&6&1&8&2\\1&2&3&4&5&6&7&8\end{pmatrix}}} {\displaystyle ={\begin{pmatrix}1&2&3&4&5&6&7&8\\6&8&1&2&3&5&4&7\end{pmatrix}}}

Notación de ciclos

Existe otra notación más compacta, llamada notación de ciclos. Un ciclo es una permutación que intercambia cíclicamente elementos y fija los restantes. Esta notación revela mejor la estructura interna de la permutación. Para ello:

Empezamos con cualquier elemento. Lo escribimos, a su derecha escribimos su imagen, a la derecha de esta, la imagen de su imagen, y seguimos así hasta que se complete un ciclo.

Luego cogemos cualquier elemento no contenido en el primer ciclo, volvemos a escribir su imagen a su derecha, y continuamos hasta completar el segundo ciclo.

El proceso continúa hasta que la permutación entera ha quedado descrita como producto de ciclos disjuntos.

Siguiendo con el mismo ejemplo de antes, en notación de ciclos, {\displaystyle \sigma } quedaría expresada como composición de dos ciclos:{\displaystyle \sigma =(1356)(2478)}.

Un ciclo de longitud k es llamado k-ciclo.

Descomposición de una permutación en ciclos disjuntos

La descomposición realizada por el procedimiento anterior no es única en principio, pues podrían haberse obtenido cualquiera de estos resultados equivalentes:{\displaystyle \sigma =(1356)(2478)=(2478)(1356)=(8247)(6135)=(3561)(4782)=(5613)(7824)=(6135)(8247)}

La descomposición canónica de una permutación como producto de ciclos se obtiene colocando en primer lugar de cada ciclo el número más pequeño del mismo. Posteriormente se procede a la colocación de los ciclos, colocando primero el ciclo cuyo primer elemento sea menor. Frecuentemente, suelen omitirse los ciclos de longitud 1. Así la permutación (1 3)(2)(4 5) se escribe simplemente como (1 3)(4 5).

Descomposición de una permutación en transposiciones

Permutaciones de 4 elementos

De izquierda a derecha aparecen las permutaciones en forma matricial, en forma de vector y como producto de transposiciones. Los números a la derecha indican la cantidad de transposiciones con que se puede escribir cada permutación (este número no es único, pero sí su paridad). Las permutaciones impares están marcadas con verde o naranja.

Una transposición es una permutación que intercambia dos elementos y fija los restantes. Dicho de otro modo, es un ciclo de longitud 2. Una propiedad interesante es que cualquier permutación se puede construir como una composición de transposiciones, aunque no de manera única. Dadas dos descomposiciones en transposiciones de una permutación se cumple que ambas usaran un número par o ambas usarán un número impar, eso permite definir de manera unívoca la signatura de una permutación.

Las transposiciones permiten descomponer una permutación cualquiera de una forma diferente a la descomposición en ciclos. En particular, las transposiciones que aparezcan no tendrán que ser disjuntas: Por ejemplo, el ciclo (1 2 3 4) = (1 2) (2 3) (3 4).

Nótese la diferencia entre permutación, ciclo y transposición, dado lo similar de la notación, la expresión anterior es equivalente a:{\displaystyle {\begin{pmatrix}1&2&3&4\\2&3&4&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&2&3&4\\2&1&3&4\end{pmatrix}}\circ {\begin{pmatrix}1&2&3&4\\2&3&4&1\end{pmatrix}}\circ {\begin{pmatrix}1&2&3&4\\1&3&2&4\end{pmatrix}}\circ {\begin{pmatrix}1&2&3&4\\1&2&4&3\end{pmatrix}}}

La composición señalada como: {\displaystyle \circ } se opera de derecha a izquierda y no es conmutativa.

Aquí el orden de aplicación es importante: en primer lugar (3 4) deja el 4 en su sitio definitivo y el 3 descolocado. Después (2 3) deja en su sitio definitivo el 3 y el 2 descolocado, que quedará recolocado definitivamente por (1 2).

Para ver que cualquier permutación se descompone como producto de transposiciones bastará ver que todo ciclo lo hace. La descomposición no es única. Por ejemplo:{\displaystyle (a_{1},\ldots ,a_{n})=}{\displaystyle (a_{1},a_{2})(a_{2},a_{3})\cdots (a_{n-1},a_{n})=(a_{1},a_{n})(a_{1},a_{n-1})\cdots (a_{1},a_{2}).}

El número de transposiciones de la descomposición tampoco es único. Por ejemplo:{\displaystyle (a_{1},\ldots ,a_{n})=}{\displaystyle (a_{n-1},a_{n})(a_{1},a_{n-1})(a_{n-1},a_{n})(a_{1},a_{n-1})(a_{1},a_{n-2})\cdots (a_{1},a_{2}).}

Pero la paridad del número de transposiciones de la descomposición sí está determinada. Es decir, para cualquier par de descomposiciones distintas de {\displaystyle \sigma } con n y con m transposiciones, respectivamente, n y m tienen la misma paridad (serán simultáneamente pares o impares).

Dada una permutación cualquiera, se define el siguiente homomorfismo de grupos:

{\displaystyle \varepsilon :S_{n}\to (\{-1,1\},\cdot )\approx (\mathbb {Z} _{2},+),\qquad \varepsilon (\sigma )=(-1)^{m},}

donde {\displaystyle \scriptstyle S_{n}} es el grupo simétrico de n elementos y m es un número entero, tal que existen transposiciones {\displaystyle \scriptstyle \tau _{i}} tales que:

{\displaystyle \sigma =\tau _{1}\tau _{2}\dots \tau _{m}\in S_{n}.}

Permutación par y permutación impar

Artículo principal: Paridad de una permutación

Llamaremos permutación par (resp. impar) a la que se escribe como composición de un número par (resp. impar) de transposiciones.

Como ejemplo, dado el conjunto {1, 2, 3} de las 6=3! permutaciones posibles:

Permutación 1

La permutación{\displaystyle {\begin{pmatrix}1&2&3\\1&2&3\end{pmatrix}}}

Escritas en notación de ciclos:{\displaystyle (1)(2)(3)\equiv id}

Las transposiciones: La identidad no tiene transposiciones. El número de transposiciones de id es 0(cero).

Permutación 2

La permutación{\displaystyle {\begin{pmatrix}1&2&3\\1&3&2\end{pmatrix}}}

Escritas en notación de ciclos:{\displaystyle (1)(23)\equiv (23)}

Las transposiciones:{\displaystyle (23)\,}

El número de transposiciones es :1.

Permutación 3

La permutación{\displaystyle {\begin{pmatrix}1&2&3\\2&1&3\end{pmatrix}}}

Escritas en notación de ciclos:{\displaystyle (12)(3)\equiv (12)}

Las transposiciones:{\displaystyle (12)\,}

El número de transposiciones es :1.

Permutación 4

La permutación{\displaystyle {\begin{pmatrix}1&2&3\\2&3&1\end{pmatrix}}}

Escritas en notación de ciclos:{\displaystyle (123)\,}

Las transposiciones:{\displaystyle (12)(23)\,}

El número de transposiciones es :2.

Permutación 5

La permutación{\displaystyle {\begin{pmatrix}1&2&3\\3&1&2\end{pmatrix}}}

Escritas en notación de ciclos:{\displaystyle (132)\,}

Las transposiciones:{\displaystyle (13)(32)\,}

El número de transposiciones es :2.

Permutación 6

La permutación{\displaystyle {\begin{pmatrix}1&2&3\\3&2&1\end{pmatrix}}}

Escritas en notación de ciclos:{\displaystyle (13)(2)\equiv (13)}

Las transposiciones: La transposición es:{\displaystyle (13)\,}

El número de transposiciones es :1.

Conclusión

En general, se demuestra que la mitad de las n! permutaciones de un conjunto de n elementos son pares y la otra mitad impares. Esto surge como consecuencia directa de la existencia del morfismo {\displaystyle \varepsilon :S_{n}\to (\{-1,1\},\cdot )} que tiene como núcleo justamente a las permutaciones pares.

Estructura de grupo

Artículo principal: Grupo simétrico

Dado un número natural {\displaystyle n\geq 1}, consideramos el conjunto {\displaystyle X=\{1,2,...,n\}}. Definimos el grupo de permutaciones de {\displaystyle n} elementos, que denotaremos por {\displaystyle S_{n}}, o lo que es lo mismo, el conjunto de aplicaciones biyectivas de {\displaystyle X} a {\displaystyle X}.

Las permutaciones pares forman un subgrupo normal de índice 2 del grupo Sn, al que llamaremos grupo alternado, y notaremos por {\displaystyle A_{n}}.

Desorden

Permutación completa o desorden es una permutación de objetos en la que ninguno de los elementos aparece en su lugar natural.

Por ejemplo: la permutación 23451 es un desorden o permutación completa de un 12345 ya que ninguna cifra se encuentra en su posición original. Pero si la permutación fuera 15423 no se consideraría un desorden, debido a que el número 1 se encuentra en su posición natural.

TeoremaEl número de permutaciones completas de un conjunto de {\displaystyle n} elementos es:{\displaystyle PC_{n}=n!\left(1-{1 \over 1!}+{1 \over 2!}-{1 \over 3!}+...+(-1)^{n}{1 \over n!}\right)}

Se puede demostrar utilizando el principio de inclusión-exclusión.

Dato histórico

El estudio de las permutaciones de las raíces de ecuaciones algebraicas le permitió a Galois elaborar los inicios de la teoría de grupos y usar este vocablo, por primera vez, en matemáticas. Y empezó por los grupos no abelianos.

El concepto de permutación aparece en la obra hebrea Séfer Yetzirah ('El libro de la creación'), un manuscrito elaborado por un místico entre el año 200 y el 600. Pero existía ya un resultado anterior de Jenócrates de Calcedonia (396-314 a. C.)